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By Jean-Michel Ghidaglia

ISBN-10: 2100520849

ISBN-13: 9782100520848

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Soit A une matrice 2 × 2 à coefficients réels. À quelle condition nécessaire et suffisante, existe-t-il une fonction H telle que le système différentiel d x x =A y y dt puisse se mettre sous la forme (E) ? Cette condition dépend-elle de la base choisie sur R2 ? Déterminer les fonctions H dans le cas où la condition nécessaire et suffisante est remplie. 2. Discuter l’existence de solutions de (E) lorsqu’on prescrit les données initiales x(0) = x0 et y(0) = y0 où (x0 , y0 ) ∈ R2 . 3. On dit que la fonction H vérifie (P) si pour tout C ∈ R, lorsque E C n’est pas vide, c’est un ensemble borné.

2. Observer que si x0 = y0 = 0 alors x(t) = y(t) = 0. 3. Calculer dL dt . 4. Montrer, en introduisant √(x(t),y(t)) , qu’il existe j ∈ R2 \{0, 0} tel que si l 2 2 © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit x (t)+y (t) est cette limite, ((l − 1)j1 , (l − 2)j2 ) = 0. 1. Montrer que f est solution d’une équation différentielle linéaire à coefficients constants. 2. Supposer que f est C ∞ et montrer que f vérifie la propriété (D). 1. Montrer que limx→±∞ f (x) = ±∞. 2. Montrer que G tend vers +∞ lorsque y tend vers +∞ et −∞.

3. L’ensemble des solutions de z + (s − l)z = 0 est un espace vectoriel de dimension 2. Pour z 1 , z 2 solutions de (E) calculer dW d x où W = z 1 z 2 − z 2 z 1 . 4. Montrer que (l1 − l2 ) b z (x)z 2 (x)d x a 1 = 0. 5. 2. 1. On écrit P(x) = A(x − a)3 . Montrer que si x0 = a, aucune solution de (E) avec x(0) = x0 n’est bornée. 2. On écrit P(x) = (x − a)Q(x) avec Q ne s’annulant pas. Montrer que si x0 = a, aucune solution de (E) avec x(0) = x0 n’est bornée. 3. On écrit P(x) = A(x − a)(x − b)2 . Trouver toutes les solutions de (E).

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50 problèmes d'analyse : Problèmes corrigés by Jean-Michel Ghidaglia


by Michael
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