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By Hans Kurzweil

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B) Sei ai = 1 , dann ist ar = 1 und die Minimalit¨at von n = o(a) ergibt r = 1 . Ist umgekehrt i = n · j ∈ nZ, so folgt ai = an·j = (an )j = 1 . 7 SATZ: Sei a ∈ G und n =o(a) . Dann ist n die Ordnung der Untergruppe a , n = | a | . a ist a ⊆ {aj | j ∈ Zn } . Seien i ≤ j aus Zn mit ai = aj . Dann ist 1 = (aj )(ai )−1 = aj−i . h. j = i. Also sind die Elemente 1, a, . . , an−1 verschieden. Dies beweist a = {1, a, a2 , · · · , an−1 }, also a) und n = | a | . a Im Folgenden ist G immer eine zyklische Gruppe der Ordnung n und z ein primitives Element von G .

Also hat Di die Form Ri Ri+1 = 0 1 1 −Fi Ri−1 Ri Ci Di Ci+1 Di+1 = 0 1 1 Fi+1 Ci−1 Di−1 Ci Di (5) , und EDi hat die Form (6) 46 . Da die Behauptung fu¨r i − 1 und i richtig ist, gilt (−1)i Ri (−1)i+1 Ri+1 = Ci−1 , −Di−1 Ci , −Di N A . Mit (5) und (6) folgt Ri+1 Ri+2 = = = 0 1 1 −Fi+1 0 1 1 −Fi+1 Ri Ri+1 (−1)i Ci−1 , (−1)i (−Di−1 ) (−1)i+1 Ci , (−1)i+1 (−Di ) (−1)i+1 Ci , (−1)i+1 (−Di ) (−1)i+2 Ci+1 , (−1)i+2 (−Di+1 ) N A N A , man beachte (−Fi+1 ) · (−1)i+1 = Fi+1 · (−1)i+2 . Also ist Ri+2 = (−1)i+2 · Ci+1 · N − (−1)i+2 · Di+1 · A , dies ist die Behauptung fu¨r i + 1 .

Dann existiert ein P ∈ F[X] , so dass A = (X − λ1 ) · · · (X − λm ) · P . Das Polynom (X − λ1 ) · (X − λ2 ) · · · (X − λm ) hat Grad m. 3 KOROLLAR Ein Polynom vom Grad n, n ≥ 0, hat h¨ochstens n Nullstellen. Ein Polynom vom Grad 1, also ein lineares Polynom A = aX + b , a, b ∈ F, a = 0, hat immer die Nullstelle λ = − ab . 4 Sei A ∈ F[X] ein Polynom vom Grad ≥ 2 . Besitzt N in F eine Nullstelle, so ist N nicht irreduzibel in F[X] . 5 Sei N ∈ F[X], grad N ∈ {2, 3}. Besitzt N keine Nullstelle in F, so ist N irreduzibel.

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by Edward
4.3

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