Aritmetica: un approccio computazionale (Convergenze) - download pdf or read online

By Giulio Cesare Barozzi

ISBN-10: 8847005817

ISBN-13: 9788847005815

Il quantity si propone di fornire una prima introduzione alla teoria elementare dei numeri, rivolta agli insegnanti (e ai futuri insegnanti) di matematica. Esso vuole costituire un invito e una preparazione in keeping with l. a. lettura di opere pi? impegnative di cui c'? gran copia nella letteratura di lingua inglese e (ultimamente grazie proprio a Springer) una buona presenza anche in lingua italiana. Esso si caratterizza in step with avere una "approccio computazionale" cio? consistent with favorire l'uso di un software program (scegliendolo tra i pi? diffusi oggi in commercio) ai fini della costruzione di un laboratorio di calcolo.

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Infatti il numero x − r = qm `e un multiplo di m. In termini equivalenti: ogni classe di equivalenza contiene uno ed un solo elemento dell’insieme dei resti Aritmetica: un approccio computazionale 34 {0, 1, . . , m − 1}; si tratta del resto comune a tutti gli elementi della classe, una volta che su ciascuno di essi sia stata eseguita la divisione intera per m. Si ha dunque x ≡ y (mod m) ⇐⇒ y − x ∈ m Z ⇐⇒ ⇐⇒ [x] = [y] ⇐⇒ x mod m = y mod m. (1) L’insieme quoziente Z/m Z, che d’ora in poi indicheremo semplicemente con il simbolo Zm , contiene dunque esattamente m classi: Zm = {[0], [1] .

Si verifichi che ci` del numero 10a1 + a0 , cio`e il numero costituito dalle ultime due cifre della rappresentazione decimale di n. 11 Si dimostri che n = (ak ak−1 . . a1 a0 )10 `e divisibile per 11 se e solo se tale `e il numero 10(a1 + a3 + . ) + (a0 + a2 + . ), dove la prima parentesi contiene la somma delle cifre decimali di n aventi indice dispari, la seconda parentesi contiene la somma delle cifre di indice dispari. Poich´e 10(a1 + a3 + . ) = 11(a1 + a3 + . ) − (a1 + a3 + . ), se ne deduca che n `e divisibile per 11 se e solo se tale `e il numero (a0 + a2 + .

Infatti se esistesse, ad esempio, un elemento[s] tale che [p][s] = [1], avremmo, moltiplicando per [q], [p][s][q] = [1][q] = [q]. Ma [p][q] = [0], quindi [q] = [p][s][q] = [p][q][s] = [0][s] = [0], cio`e q sarebbe un multiplo di m, contro l’ipotesi. Supponiamo, inversamente, che m sia primo. Allora ciascuno dei numeri 1, 2, . . , m − 1 `e primo rispetto a m; se n sta ad indicare uno di tali numeri si ha MCD(n, m) = 1. 12 esistono due interi s e t tali che 1 = sn + tm ⇐⇒ sn ≡ 1 (mod m). 1 Se ciascuna classe [x] di Zm viene indentificata con il resto comune a tutti i suoi elementi, l’omomorfismo x → [x] di Z su Zm pu` o essere rappresentato nella forma x → r(x) := min{[x] ∩ N}.

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by Joseph
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